Podstawowe wiadomości o wektorach |
![]() |
W przestrzeni trójwymiarowej wektorem jest
odcinek posiadający określoną długość, kierunek i zwrot. Wektory
przedstawiamy na rysunkach w postaci strzałki i oznaczamy zwykle małą literą
z umieszczoną nad nią strzałką, np. ![]() |
Rys.1. Wektor
![]() ![]() |
|
(1) |
Wektor nazywamy swobodnym, jeśli jego początek nie jest umiejscowiony w określonym punkcie przestrzeni. Wektor taki nie ulega zmianie jeśli jego początek zostanie przesunięty pod warunkiem, że jego długość, kierunek i zwrot nie zmieniają się. W niektórych przypadkach położenie początku wektora jest istotne. Takie wektory nazywamy zaczepionymi, np. wektor, którego początek znajduje sie w punkcie A, jest wektorem zaczepionym w tym punkcie.
![]() |
Wektor o długości jednostkowej nazywamy wersorem i oznaczamy na ogół
małą literą z "daszkiem" np.
Rys.2.
Wersor |
![]() |
Sumą dwóch wektorów jest wektor stanowiący przekątną równoległoboku skonstruowanego w ten sposób, że jeden z wektorów przesuwamy równolegle do jego kierunku tak, by początek tego wektora pokrył się z końcem drugiego. Sumę wielu wektorów (wypadkową) otrzymujemy dodając do sumy dwóch pierwszych wektorów następny wektor itd. Różnica
dwóch wektorów to suma wektora pierwszego i wektora przeciwnego do wektora
drugiego tzn. Rys.3. Suma i różnica dwóch wektorów |
Iloczyn
danego wektora
przez skalar
,
to inny wektor
o tym samym kierunku, ale długości stanowiącej iloczyn długości wektora
przez wartość skalara
i zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora
jeśli
i przeciwnym gdy
.
![]() |
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
|
|
![]() |
(2) | |
Rys.4. Wielkości
określające iloczyn skalarny
wektorów ![]() ![]() |
gdzie ![]() ![]() ![]() |
Iloczyn wektorowy wektorów
i
, to taki wektor
,
którego długość wynosi
|
(3) |
![]() |
Zwrot wektora ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Rys.5. Wyznaczenie iloczynu wektorowego |
Dobrym przykładem układu prawoskrętnego jest korkociąg. Obrotowi zgodnemu z ruchem wskazówek zegara towarzyszy ruch w kierunku do dołu (wkręcanie), Obrotowi w kierunku przeciwnym towarzyszy ruch w górę (wykręcanie); porównaj ze schematem z lewej strony rysunku.
![]() |
|
|
|
Rys.5a. Korkociąg - ilustracja układu prawoskrętnego. |
Podwójny iloczyn wektorowy może być zapisany w postaci
|
(4) |
Uzyskany w ten sposób wektor leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory
i
.
![]() |
Trójwymiarowy układ współrzędnych prostokątnych tworzą trzy osie wzajemnie
prostopadłe przecinające się w jednym punkcie stanowiącym początek układu
współrzędnych. Na osiach obiera się jednostki miary, a kierunki osi ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Rys.6. Wektor
|
Każdy wektor można przedstawić w układzie współrzędnych prostokątnych w
postaci sumy trzech wektorów składowych. Na rysunku 6 pokazane są
składowe wektora ,
które oznaczamy:
.
Wektor
jest sumą
|
(5) |
Wielkości skalarne
nazywamy
współrzędnymi wektora
.
Wielkości te również określają wektor, co zapisujemy w postaci
.
Długość wektora można wyznaczyć łatwo za pomocą jego współrzędnych, np.
obliczając kwadrat wektora
na podstawie wzoru ( 5) mamy
|
(6) |
(Przy podnoszeniu do kwadratu wzięliśmy pod uwagę, na podstawie wzoru (2), że kwadrat wektora to kwadrat jego długości, a iloczyny skalarne dwóch różnych składowych są równe zeru, bowiem kąt miedzy nimi jest kątem prostym, wiec jego cosinus równy jest zeru.) Długość wektora w układzie współrzędnych prostokątnych równa jest więc pierwiastkowi z sumy kwadratów jego współrzędnych.
W układzie
współrzędnych prostokątnych wyjątkowo łatwo wykonuje się operacje na wektorach.
Współrzędne wektora
będącego sumą
wyrażają się poprzez sumy współrzędnych wektorów
i
|
(7) |
W podobny sposób zapisujemy współrzędne różnicy wektorów.
Równie łatwo
wyrazić jest wartość iloczynu skalarnego
|
(8) |
Dla obliczenia iloczynu wektorowego należy zwrócić uwagę, że iloczyn wektorowy wersorów dwóch różnych osi układu prostokątnego równy jest wersorowi trzeciej osi ze znakiem dodatnim lub ujemnym zaś iloczyn wektorowy wersorów tej samej osi równy jest zeru. Mamy więc
|
(9) |
(Dla otrzymania tego wyniku trzeba (pracowicie) wykonać serię mnożeń poszczególnych składników, zauważyć, że zamiana kolejności mnożenia dwóch wersorów odpowiada zmianie znaku wersora trzeciego, a następnie uporządkować wyrazy otrzymanego wyrażenia.)